(Partage de ressources conçues au sein du LaboM)

L’utilisation de pyramides de nombres permet d’aborder de façon ludique une vaste gamme de problèmes. La simple application de techniques calculatoires trouve rapidement ses limites et une approche algébrique s’invite dans la recherche.

L’exemple ci-dessous est choisi pour illustrer le type de travail envisageable au cycle 3, susceptible de développer des compétences de prise d’initiative et d’organisation d’une démarche complexe, ainsi que calculatoires avec notamment le recours aux ordres de grandeurs.

La case en bas à gauche se traite classiquement comme une addition à trou, par soustraction bien choisie.

Mais une recherche directe, similaire, échoue pour les cases en bas à droite.

La proposition aux élèves consiste donc à placer un nombre « au hasard » dans la troisième case de la dernière ligne, calculer les valeurs au-dessus puis celle de la case déjà occupée par le nombre 698. Si le résultat des calculs est aussi 698, cela validera le test, sinon il faudra ajuster la valeur choisie.

Même s’il n’est pas indispensable de passer par une phase de recherche à partir des ordres de grandeurs, cette approche va permettre de mieux comprendre la situation tout en simplifiant et accélérant les calculs. Il s’agit donc de considérer :

On suppose qu’après quelques essais les élèves ont obtenu :

Ils peuvent alors revenir aux valeurs exactes, en partant du nombre 200 puis en ajustant :

Comme  508,75+200,5>698 nous allons ajuster le « 200 » par un nombre inférieur. Par exemple 190.

Comme 498,75+190,5=689,25<698 nous allons ajuster le « 190 » par un nombre supérieur. Par exemple 194.

Comme 502,75+194,5=697,25<698 nous allons ajuster le « 194 » par un nombre légèrement supérieur. Par exemple 194,4. La procédure se poursuit jusqu’à obtention de l’égalité.

Par ailleurs une analyse pré-algébrique peut faire prendre conscience qu’un ajout sur la troisième case de la ligne du bas impacte à la fois la case au-dessus à gauche et celle au-dessus à droite, donc que cet ajout est doublé dans le calcul de la deuxième case de la deuxième ligne…

L’ensemble a été testé en classe avec accès autorisé à la calculatrice, pour alléger la phase purement technique : les élèves ont quand même investi la dimension de « calcul réfléchi » (ordres de grandeurs, ajustements) et cette facilitation technique n’a pas entamé donc la pertinence du travail en rapport avec l’objectif.

Cet exemple est extrait du document « Pyramides de nombres ». Quelques pistes de résolution sont également disponible dans ce complément.

(J.-B.Giai)